swk's log

* 傾いた時計クイズ [misc]

文字板に何も印がない時計が傾いていたときに，傾いているかどうか判断できるか否かという問題．解答をピックアップして頂きありがとうございました．

• http://www.hyuki.com/diary/20050226090615

というわけで勝手に雑感を述べてみる．

結城さんの模範解答は，ボトムアップというか，一切想像をはたらかせることなく数学的に納得することができる．その代わり，要するにその裏で何が起きているのか，何がミソなのかは，読んだだけではたぶん分からない． (分かる人は相当鋭い)

その他の紹介されている解答は，私のものも含めて，トップダウンと言ってよいと思う．その代わり想像というか常識的直感に頼る部分があって，読者によっては「それって本当?」という疑問が残る場合がある．(実際私も，解答を送りながら，これって本当に合ってんのかな，何か勘違いしてるんじゃないのかなと心配だった)

私の解答 (「かがみさんの解答」というやつ) に対する結城さんのコメントに，「いささか間抜けな質問メール」というのが出て来るが，間抜けどころではなく，ここの弱さをついた鋭いものだった．つまり，

短針・長針の回転速度は変わらない ⇒ (a) あるひとつの時刻で傾いているかどうかが判断できない場合，その置き方をしている限りは他のいずれの時刻でも判断できない

というのは自明としてよいのか，ちゃんと証明できるか，という指摘であった．

自明だと思ったのであの解答をお送りしたわけだが，これを手抜きせずにちゃんと証明するのは意外と面倒くさい．結局，結城さんの解答と本質的に同等なことをやる必要があった (もっとも私が結城さんにメールで送った証明(*)は，もっと廻りくどくて美しくないものでしたが＿|￣|◯．「丁寧に答えてくださいました」とありますが，とんでもない，冗長なだけです)．

つまるところ何なのかというと，直感的に分かりやすいというのと，記述が正確であるというのを，冗長にならずに両立するのはなかなか難しい，ということなんだと思う．これってこういう数学系のネタに限らず，ものを書くこと，話すことなど，広くプレゼンテーションと呼べるもの全般に当てはまる．

もっとも，これらを非冗長に両立させることが常に必要とは限らないんだけど．冗長であることが功を奏す場合もあるし，正確さを切捨てた方がよい場合もある．分かりやすさを切捨てて得な場合は…あるかな? ちょっとよく分からないな．大したことやってないのをバレないようにするためとかだろうか(ぉ．

---

(*) その証明を晒してみる．あー，センスねーなという感じ．変数として角度だけじゃなくて時間 t を媒介させているから，必要以上にややこしくなっている．

[定義1] ある時刻 t における正しい時計の短針・長針の角度 (θ_h, θ_m) [°] は，以下で与えられる．ただし t は 0 時 0 分を t = 0 とし，分単位で表す(例: 1時15分は t = 75)．mod は モジュロ演算子を表す．

 (θ_h, θ_m) = (t/2 mod 360, 6t mod 360)

[定義2] 時計の短針・長針は，τ分間にそれぞれ τ/2 [°]，6τ[°] 回転する．

[定義3] ある時計の針の角度 (θ_h, θ_m) に対して，時計が傾いているか否かは，(θ_h, θ_m) = (t/2 mod 360, 6t mod 360) を満たすような t が存在するとき，判断できないという．同式があらゆる t に対して成り立たないとき，判断できるという．

[補題] ((x mod a) + y) mod a = (x + y) mod a

[証明] (ほぼ自明ですが念のため)

  左辺 = (x - [x / a]a + y) mod a = (x + y) mod a

(ただし [x] は x を超えない最大の整数) を得る．証明終．

[定理] ある角度で傾いて置かれた時計をある時点で見て，傾いているかどうか判断できない場合，その置き方をしている限りは他のいずれの時点でも判断できない．

[証明] その判断できない時点において，定義3 より，その時計が指しているように見える時刻 s が存在し，このとき針は

 (s/2 mod 360, 6s mod 360)

を指している．その時点のτ分後 (τは実数であり，負でもよい)，時計の針は定義2 より

 (((s/2 mod 360) + τ/2) mod 360, ((6s mod 360) + 6τ) mod 360)

を指す．補題よりこれは

 ((s + τ)/2 mod 360, 6(s + τ) mod 360)

に等しい．このとき定義3 における等式が t = s + τ に対して成り立つので，傾いているか否かは判断できない．これが任意のτについて言える．証明終．